뷰티풀 마인드, 99%의 사랑과 1%의 영감이 만든 내쉬이론

아름다운 청년 내쉬는 내성적이라 무뚝뚝하면서도 오만한 청년이지만 그럴만하게 뛰어난 두뇌를 가진 캐릭터다. 그가 만든 내쉬 균형이론은 1949년에 27쪽 짜리 논문으로 일약 스타덤에 오른다. 복잡한 암호도 푸는 그지만 사랑이라는 것은 한참 어려운 문제인듯 하다. 그가 만든 내쉬 이론은 지금 게임이론등으로 구조적으로 사고하기 위한 방법으로 널리 알려져 있다.

 

뷰티플 마인드는 감동적이며 아름다운 영화이다. 배우 러셀 크로우나 제니퍼 코넬리의 연기도 훌륭한 편이다. 수학자이지만 정신분열증을 앓고 있는 캐릭터인다. 그걸 극복해나가는 과정이 이 영화의 주제이다. 천재들은 보통 혼자 있기를 좋아해서 외부와의 소통은 잘 하지 않는편이다. 사소한 것에 집착하고 예민한 그들은 누구보다도 외로운 존재이다.

 

 

 

 

그가 만들었던 이론을 알기 쉽게 몇가지 설명하면 아래와 같다.

제로섬게임도 있고 Non 제로섬게임으로도 설명되기도 한다.

 

내쉬균형 (Nash equilibrium)

 

남녀가 만나게 되면 많은 부분에서 의견 충돌을 일으킨다. 예를 들어

 

A라는 남자는 후식으로 밥을 먹을 수 있는 진양곱창집을 원한다

B라는 여자는 후식과 상관없이 양꼬치 전문점을 원한다.

 

A가 진양곱창집을 가는것은 +2점, 양꼬치 전문점을 가는 것은 +1점이다

B는 양꼬치전문점을 가는 것은 +2점, 진양곱창집을 가는 것은 +1점이다.

둘다 원하는 대로 따로 따로 원하는 것은 -1점이다.

 

두명이서 진양곱창집을 가는 것은 A에게는 +2점 B에게는 +1점

두명이서 양꼬치 전문점을 가는 것은 A에게는 +1점 B에게는 +2점

따로 따로 진양곱창집이나 양꼬치 전문점을 가는 것은 각각 -2점이니 내쉬균형이론에 가면 진양곱창집이나 양꼬치 전문점을 가는것은 두명에서 플러스되는 합리적인 결정이다.

 

 

 

두번째로 혼합전략을 설명하면 마침 모임장소를 정하려고 하는데 의견이 분분하다.

 

회를 좋아하는 친구들 A가 있고 고기를 좋아하는 친구들 B가 있다.

동창회의 만족할만한 후기를 기대하기 위해서는 적절한 균형이 필요하다.

 

고기를 주로 먹어온 대덕구의 특성상 고기를 선택하면 60%의 호감을 얻고 요즘 맛있다는 전어를 선택하면 40%의 호감을 얻는다. 괴도한 회비를 두려워해서 두개를 연달아 먹는 것은 힘들다. 그러나 호감 비율이 매번 6:4은 아니다. 겨울이나 가을의 경우 때론 호감도가 반전이 되기도 한다.

 

고기나 갈비를 선택하면 60%의 호감도를 얻을 수 있다는 것을 알수 있고 B그룹이 원하는대로 회를 먹고 A그룹도 간다면 40%의 호감도를 얻을 수 있다. 동창회장은 생각이 복잡해졌다. 회를먹고도 50%의 호감도를 얻기를 바라는데 A그룹과 B그룹이 같이 1차에서 고기만을 먹는다면 60% 회를 먹으면 40%임을 알수 있었다. 정말 맛있는 회를 먹는다고 해서 B그룹이 생각대로 움직일리 없다.

 

어느쪽도 절대 우위를 취할수가 없는 상황이다. 확률의 문제라면 바람직한 조합을 계산해보았다.

 

B그룹이 고기를 먹을 확률 : P

B그룹이 회를 먹을 확률 : (1-P)

 

A그룹이 고기를 먹을 확률 : Q

A그룹이 회를 먹을 확률 : (1-Q)

 

이 때 중학교 모임의 기대 호감도는 다음과 같다.

0.6 PQ + 0.3 (1-P)Q + 0.2P(1-Q) + 0.4 (1-P)(1-Q)

= 0.5PQ-0.1Q-0.2P+0.4

= 0.5 (P-0.2)(Q-0.4)+0.36

모임에서 A그룹과 B그룹이 모두 회를 먹으로 가면 중학교의 호감도는

0.5*(0.6-0.2)*(0.6-0.4)+0.36 = 0.40으로 실제 호감도와 일치한다.

 

중학교 회장은 생각한다 B그룹을 자극시키기보다는 당분간 고기를 먹으면서 호감도를 60%로 유지하는 것이 좋겠군..

 

그러나..갑자기 상황이 변했다.

A그룹이 고기를 선택할 경우 호감도 = P*(0.4)+(1-P)*0.7

A그룹이 회를 선택할 경우 호감도 = P*(0.8)+(1-P)*0.6

 

두 경우의 호감도가 같아지도록 B그룹이 무작위화하면 다음과 같다.

P*(0.4)+(1-P)*(0.7)= P*(0.8)+(1-P)*(0.6)

 

따라서 P=0.2가 되며 이때 A그룹의 호감도의 합계가 64%가 된다.

A그룹의 호감도의 합계

= Q*{P*(0.4)+(1-P)*(0.7)}+(1-Q){P*(0.8)+(1-P)*(0.6)}

= Q*{0.2*(0.4)+(1-0.2)*(0.7)}+(1-Q){0.2*(0.8)+(1-0.2)*(0.6)}

= 0.64

 

이경우 혼합내쉬균형전략이 성립되는 상태

B그룹 : 고기 20%, 회 80% 무작위화하여 모임장소를 정한다

A그룹 : 고기 40%, 회 60%로 무작위화하여 모임장소를 정한다.

 

모임장소와 달리..원래 비즈니스목적이니 사람의 호감도와 비교될수는 없음

 

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